Question

19．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C對(duì)的邊分別為a、b、c，若$\frac{sin（A+B）}{1+cos（A+B）}$=2sinC，c=1，則$\frac{1}{2}$b+a的最大值為$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知等式化簡(jiǎn)求得cosC的值，進(jìn)而利用余弦定理確定a和b等式，設(shè)出$\frac{1}{2}$b+a=t，代入得到關(guān)于a的一元二次函數(shù)，利用判別式法求得t的最大值．

解答 解：$\frac{sin（A+B）}{1+cos（A+B）}$=$\frac{sinC}{1-cosC}$=2sinC，求得cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
整理得a²+b²-1=ab，①
設(shè)$\frac{1}{2}$b+a=t，則b=2（t-a），代入①中整理得，
7a²-10at+4t²-1=0，
要使方程有解需△=100t²-28•（4t²-1）≥0，
求得0＜t≤$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，余弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，利用代數(shù)法確定最大值．