Question

1．若A={x|x²-mx+m-1=0}，B={x|x²-（2m-1）x+2m=0}，且A∩B≠∅，求m的值和集合A、B及A∪B．

Answer 1

分析 對(duì)于集合A：x²-mx+m-1=0化為（x-1）[x-（m-1）]=0，解得x．當(dāng)m=2時(shí)，A={2}，當(dāng)m≠2時(shí)，A={1，m-1}．對(duì)于集合B：x²-（2m-1）x+2m=0，當(dāng)m=2時(shí)，方程化為：x²-3x+4=0，方程無解，B=∅，舍去．根據(jù)A∩B≠∅，可得集合B中必然含有1或m-1．分別代入計(jì)算即可得出．

解答 解：對(duì)于集合A：x²-mx+m-1=0化為（x-1）[x-（m-1）]=0，解得x=1或m-1．當(dāng)m=2時(shí)，A={2}，當(dāng)m≠2時(shí)，A={1，m-1}．
對(duì)于集合B：x²-（2m-1）x+2m=0，當(dāng)m=2時(shí)，方程化為：x²-3x+4=0，方程無解，B=∅，此時(shí)A∩B=∅，舍去．
∵A∩B≠∅，∴集合B中必然含有1或m-1．
把x=1代入上述方程可得：1-（2m-1）+2m=0，可得2=0，舍去．
把x=m-1代入上述方程可得：（m-1）²-（2m-1）（m-1）+2m=0，解得m=0或3．
綜上可得：m=0或3．
當(dāng)m=0時(shí)，A={1，-1}，B={0，-1}，A∪B={-1，0，1}．
當(dāng)m=3時(shí)，A={1，2}，B={2，3}，A∪B={1，2，3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的運(yùn)算及其性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．