已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求平面AMC與平面ABC夾角的余弦值．
分析：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，證明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面AMC與平面ABC夾角的余弦值．
解答： 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
1
2
）．
（Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="pl5nzfn" class="MathJye">
AP
=（0，0，1），
DC
=（0，1，0），
所以
AP
•
DC
=0，所以AP⊥DC．
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（II）解：平面PAC的法向量為
n
=（x，y，z），
∵
AC
=（1，1，0），
MA
=（0，1，
1
2
）
∴由
n
•
AC
=0
n
•
MC
=0
，可得
x+y=0
y+
1
2
z=0

∴可取
n
=（1，-1，2）
∵平面ABC的法向量
AP
=（0，0，1）
∴cos＜
n
，
AP
＞=
n
•
AP
|
n
|
AP
|
=
6
3

∴平面AMC與平面ABC夾角的余弦值為
6
3
．
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，面面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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