Question

關(guān)于x的方程

3

sin2x+cos2x=k+1在[0，

π

2

]內(nèi)有相異的兩個實數(shù)根x₁，x₂，求實數(shù)k的取值范圍及x₁+x₂的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和差的正弦公式可把方程

3

sin2x+cos2x=k+1化為sin(2x+

π

6

)=

k+1

2

，分別畫出圖象：f（x）=sin(2x+

π

6

)，y=

k+1

2

．則方程

3

sin2x+cos2x=k+1在[0，

π

2

]內(nèi)有相異的兩個實數(shù)根x₁，x₂，?函數(shù)y=f（x）與y=

k+1

2

有兩個不同的交點，可得

1

2

≤

k+1

2

＜1．由圖象可知：當x∈[0，

π

3

]時，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱．

解答： 解：方程

3

sin2x+cos2x=k+1化為2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=k+1，
∴sin(2x+

π

6

)=

k+1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，
畫出圖象：f（x）=sin(2x+

π

6

)，y=

k+1

2

．
當0≤x≤

π

6

時，f（x）∈[

1

2

，1]；
當

π

6

＜x≤

π

2

時，f（x）∈[-

1

2

，1)．
方程

3

sin2x+cos2x=k+1在[0，

π

2

]內(nèi)有相異的兩個實數(shù)根x₁，x₂，?函數(shù)y=f（x）與y=

k+1

2

有兩個不同的交點，
∴

1

2

≤

k+1

2

＜1，解得0≤k＜1．
由圖象可知：當x∈[0，

π

3

]時，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對稱．
∴x1+x2=2×

π

6

=

π

3

．

點評：本題考查了兩角和差的正弦公式、方程的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為圖象的交點、正弦函數(shù)的軸對稱性單調(diào)性有界性，屬于中檔題．