Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求異面直線CB₁與C₁A₁所成的角余弦值．
（Ⅱ） 求證：A₁B∥平面ADC₁；

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）∠ACB₁即為異面直線CB₁與C₁A₁所成的角，解三角形可得異面直線CB₁與C₁A₁所成的角余弦值；
（Ⅱ）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明A₁B∥OD，利用線面平行的判定定理證明A₁B∥平面AC₁D；

解答： 解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴C₁A₁∥CA，
故∠ACB₁即為異面直線CB₁與C₁A₁所成的角，
連接AB₁，設(shè)AB=AC=AA₁=a，

∵側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
∴BC=AB₁=

2

a，CB₁=

3

a，
則△ACB₁為直角三角形，
故cos∠ACB₁=

AC

CB1

=

3

3

，
證明：（Ⅱ）連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD
因?yàn)锳CC₁A₁為正方形，
所以O(shè)為AC₁中點(diǎn)
又D為BC中點(diǎn)，
所以O(shè)D為△A₁BC中位線
所以A₁B∥OD   …（6分）
因?yàn)镺D?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
 

點(diǎn)評：本題考查線面夾角，線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．