Question

若有窮數(shù)列{a_n}滿足：（1）首項(xiàng)a₁=1，末項(xiàng)a_m=k，（2）a_n+1= a_n+1或a_n+1=2a_n ，（n=1，2，…，m-1），則稱數(shù)列{a_n}為k的m階數(shù)列．

（Ⅰ）請(qǐng)寫出一個(gè)10的6階數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為自然數(shù)的遞增數(shù)列，若，且，求m的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．          ………………2分

（Ⅱ）由已知在數(shù)列{a_n}中 a_n+1= a_n+1或a_n+1=2a_n，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，或．

因?yàn)?sub> ，

所以在數(shù)列{a_n}中 中i的個(gè)數(shù)不多于中j的個(gè)數(shù)，

要使項(xiàng)數(shù)m最小，只需 ．                     ……………………5分

當(dāng)a_m為奇數(shù)時(shí)，必然有 ，是偶數(shù)，可繼續(xù)重復(fù)上面的操作．

所以要使項(xiàng)數(shù)m最小，只需遇到偶數(shù)除以2，遇到奇數(shù)則減1．

因?yàn)?sub>，且，

只需除以次2，得到為奇數(shù)；

減1，得到為偶數(shù)，

再除以次2，得到；

再減1，得到為偶數(shù)，

…………，

最后得到為偶數(shù)，除以次2，得到1，即為．

所以=．  ……………………13分

（若用其他方法解題，請(qǐng)酌情給分）