若有窮數(shù)列{an}滿足:(1)首項(xiàng)a1=1,末項(xiàng)am=k;(2)an+1=an+1或an+1=2an,(n=1,2,…,m-1),則稱數(shù)列{an}為k的m階數(shù)列.
(Ⅰ)請(qǐng)寫出一個(gè)10的6階數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為自然數(shù)的遞增數(shù)列,若k=2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N),且l≥2,求m的最小值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)數(shù)列{an}為k的m階數(shù)列的定義可得一個(gè)10的6階數(shù)列為:1,2,3,4,5,10或1,2,4,8,9,10.
(Ⅱ)由已知在數(shù)列{an}中 an+1=an+1或an+1=2an,當(dāng)an為偶數(shù)時(shí),只需 an-1=
an
2
(an≥2).當(dāng)am為奇數(shù)時(shí),必然有 an-1=an-1,(an≥2),an-1是偶數(shù),可繼續(xù)重復(fù)上面的操作.
所以要使項(xiàng)數(shù)m最小,只需遇到偶數(shù)除以2,遇到奇數(shù)則減1.由此可得 m=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bl-bl-1)+(l-1)+1=bl+l.
解答:解:(Ⅰ)1,2,3,4,5,10或1,2,4,8,9,10.          …(2分)
(Ⅱ)由已知在數(shù)列{an}中 an+1=an+1或an+1=2an
當(dāng)an為偶數(shù)時(shí),an-1=
an
2
(an≥2),或 an-1=an-1.
因?yàn)?span id="hpjtz51" class="MathJye">
an
2
≤an-1 (an≥2),所以在數(shù)列{an}中 1≤ai
an
2
中i的個(gè)數(shù)不多于 1≤aj≤an-1 中j的個(gè)數(shù),
當(dāng)要使項(xiàng)數(shù)m最小,只需 an-1=
an
2
(an≥2).                     …(5分)
當(dāng)am為奇數(shù)時(shí),必然有 an-1=an-1,(an≥2),an-1是偶數(shù),可繼續(xù)重復(fù)上面的操作.
所以要使項(xiàng)數(shù)m最小,只需遇到偶數(shù)除以2,遇到奇數(shù)則減1.
因?yàn)閍n=k=2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N),且 0≤b1<b2<b3<…<bl,
只需除以2b1,得到 1+2b2-b1+2b3-b1+…+2bl-b1 為奇數(shù);
減1,得到 2b2-b1+2b3-b1+…+2bl-b1 為偶數(shù),
再除以 2b2-b1,得到 1+2b3-b2+2b4-b2+…+2bl-b2 為奇數(shù);
再減1,得到  2b3-b2+2b4-b2+…+2bl-b2 為偶數(shù),

最后得到 2bl-bl-1為偶數(shù),除以2bl-bl-1,得到1,即為a1
所以 m=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bl-bl-1)+(l-1)+1=bl+l.  …(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性,k的m階數(shù)列的定義,屬于難題.
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若有窮數(shù)列{an} 滿足條件a1=an,a2=an-1,…,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,…,n),則稱數(shù)列{an} 為“對(duì)稱數(shù)列”.例如,數(shù)列1,2,3,2,1與數(shù)列4,2,1,1,2,4都是“對(duì)稱數(shù)列”.
(Ⅰ)設(shè){bn}是21項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”,其中b1,b2,…,b11是等比數(shù)列,且b2=2,b5=16,求{bn}的所有項(xiàng)的和S;
(Ⅱ)設(shè){cn}是22項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”,其中c12,c13,…,c22是首項(xiàng)為22,公差為-2的等差數(shù)列,求{cn}的前n項(xiàng)和Tn(1≤n≤22,n∈N*).

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(Ⅰ)請(qǐng)寫出一個(gè)10的6階數(shù)列;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}是各項(xiàng)為自然數(shù)的遞增數(shù)列,若,且,求m的最小值.

(考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效)

 

 

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