Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=x+b（a，b∈R）．
（1）求a、b的值；
（2）若對(duì)于任意x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-$\frac{1}{x}$）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=x+b，可求a、b的值；
（2）任意x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-$\frac{1}{x}$）恒成立，即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），設(shè)g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx（a∈R），
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$，
由題設(shè)f'（1）=1，∴a=1，
又切點(diǎn)為（1，0）在切線(xiàn)y=x+b上，∴b=-1．
（2）f（x）=lnx對(duì)于任意x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-$\frac{1}{x}$）恒成立，
即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
設(shè)g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，g（x）≥g（1）=0，
這與題設(shè)g（x）≤0矛盾；
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當(dāng)△≤0，即≥$\frac{1}{2}$時(shí)，g'（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立，
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，方程-mx²+x-m=0，設(shè)兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$，
當(dāng)x∈（1，x₂），g'（x）＞0，
g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設(shè)矛盾，
綜上所述，m≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．