Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+{a}^{2}\\;x≤0}\\{\frac{1}{x}+x+a\\;x＞0}\end{array}\right.$，若f（x）_min=f（0），則a的取值范圍是[0，2]．

Answer 1

分析 若a＜0，函數(shù)左段的最小值為f（a），不滿足f（x）_min=f（0）；若a≥0，函數(shù)左段的最小值為f（0），右段函數(shù)的最小值為a+2，根據(jù)分段函數(shù)的最值為各段最小值中的最小值，可得a≥0，且a²≤a+2，解得a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，
f（x）=$\frac{1}{x}+x+a$的圖象是由對(duì)勾函數(shù)的圖象向上平移a個(gè)單位得到，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=a+2，
當(dāng)x≤0時(shí)，
f（x）=x²-2ax+a²的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，
若a＜0，則f（x）_min=f（a）=0，
若a≥0，則f（x）_min=f（0）=a²，
∵x∈R時(shí)，f（x）_min=f（0），
則a≥0，且a²≤a+2，
解得：a∈[0，2]，
故a的取值范圍是[0，2]，
故答案為：[0，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的最值的意義是解答的關(guān)鍵．