【題目】已知a為實(shí)常數(shù),函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a≤1,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex﹣a,

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在R遞增,

當(dāng)a>0時(shí),f′(x)=ex﹣a,

令f′(x)>0,解得:x>lna,令f′(x)<0,解得:x<lna,

故f(x)在(lna,+∞)遞增,在(﹣∞,lna)遞減,

綜上,a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在R遞增,

a>0時(shí),f(x)在(lna,+∞)遞增,在(﹣∞,lna)遞減


(2)解:由(1)得,a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在R遞增,不可能有2個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)0<a≤1時(shí),函數(shù)f(x)在(﹣∞,lna)遞減,在(lna,+∞)遞增,

故f(lna)為函數(shù)f(x)的最小值,

令k(a)=f(lna)=a﹣alna﹣1,a>0,

k′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna,

令k′(x)>0,解得:0<a<1,

故函數(shù)k(a)在(0,1)遞增,且k(1)=0,

故a∈(0,1)時(shí),f(lna)<0,

令m(a)=lna﹣(﹣ )=lna+ ,a∈(0,1),

m′(a)= <0,

∴m(a)在(0,1)遞減,

∴m(a)>m(1)>0,

即a∈(0,1)時(shí),﹣ <lna<0,

由于f(﹣ )= >0,f(0)=0,

當(dāng)a∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)


【解析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)討論原函數(shù)的增減性。(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在指定區(qū)間上的最值,進(jìn)而得到函數(shù)在具體區(qū)間上的增減性,故可證明當(dāng)a∈(0,1)時(shí),函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

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(2)分別求出成績落在[50,60)[60,70)中的學(xué)生人數(shù);

(3)從成績?cè)?/span>[50,70)的學(xué)生中任選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.

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①f( )=
②函數(shù)f(x)在( ,π)上為減函數(shù)
③任意x∈[0, ],都有f(x)+f(π﹣x)=4.

A.①
B.③
C.②
D.①②③

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A.
B.
C.
D.

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