Question

【題目】已知函數(shù) ，其中a∈R． （Ⅰ）給出a的一個取值，使得曲線y=f（x）存在斜率為0的切線，并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）存在極小值和極大值，證明：f（x）的極小值大于極大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0，且x≠2}，

f′（x）=﹣ + = ．

令f′（x）=0得x2﹣（4+a）x+4=0．

若曲線y=f（x）存在斜率為0的切線，則方程x2﹣（4+a）x+4=0在定義域{x|x＞0，且x≠2}上有解，

不妨設(shè)x=1是方程x2﹣（4+a）x+4=0的解，則a=1．

∴當(dāng)a=1時，曲線y=f（x）存在斜率為0的切線．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f′（x）=﹣ + ．

①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在區(qū)間（0，2）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意．

②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x2﹣（4+a）x+4=0．

△=（4+a）2﹣16=a2+8a＞0，

∴方程必有兩個不相等的實數(shù)解x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2．

則 ，∴0＜x1＜2＜x2．

列表：

x	（0，x1）	x1	（x1，2）	（2，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

∴f（x）存在極大值f（x1），極小值f（x2）．

f（x2）﹣f（x1）=（ +lnx2）﹣（ +lnx1）=a（ ）+（lnx2﹣lnx1）．

∵0＜x1＜2＜x2，且a＞0，

∴a（ ）＞0，lnx2﹣lnx1＞0，

∴f（x2）＞f（x1）．

∴f（x）的極小值大于極大值

【解析】（I）令f′（x）=0在定義域上有解即可；（II）判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，再利用作差法計算極值的差即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．