Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}前n項(xiàng)之積，則A₂₀₁₅=-2．

Answer 1

分析 先通過(guò)題意進(jìn)行計(jì)算，確定數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，求出a₁a₂a₃=-1，再利用周期性求出A₂₀₁₃的值．

解答 解：由題意得，a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，∴a_n+1=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
則a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$-\frac{1}{2}$，a₄=3，…，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，且a₁•a₂•a₃=3×$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）$=-1，
∵2015=671×3+2，∴A₂₀₁₅=（a₁•a₂•a₃）⁶⁷¹•a₁•a₂=（-1）⁶⁷¹•3×$\frac{2}{3}$=-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式的化簡(jiǎn)，以及數(shù)列的周期性，確定數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，且a₁a₂a₃=-1是解題的關(guān)鍵．