Question

已知函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x+b在x=2處取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）?x∈[0，3]使f（x）＜b²，求b的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立方程f′（2）=0，即可求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）（Ⅱ）?x∈[0，3]使f（x）＜b²，等價為f_min（x）＜b²，求出函數(shù)的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax²-3（a+2）x+6，
∵函數(shù)在x=2處取得極值，
∴f′（2）=12a-6（a+2）+6=0，解得a=1，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x²-3x+2）=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，則x＜1或x＞2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，則1＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間（-∞，1）（2+∞），減區(qū)間（1，2）．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-

9

2

x²+6x+b，
由（Ⅰ）知：f（x）的極小值為f（2）=b+2，
f（0）=b，
f(x)極大值=f(1)=b+

5

2

，
f(3)=27-

9

2

×9+18+b=b+

9

2

，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=b，
要使（Ⅱ）?x∈[0，3]使f（x）＜b²，
則f(x)min=b＜b2，解得b＜0或b＞1．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，求出a是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．