Question

如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，，凸多面體ABCED的體積為，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）作BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD，要證AF∥平面BDE，只需證明AF平行平面BDE內(nèi)的直線(xiàn)GD即可；
（Ⅱ）F為BC的中點(diǎn)，要證平面BDE⊥平面BCE，只需證明平面BDE內(nèi)的直線(xiàn)GD垂直平面BCE即可．
解答：證明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴四邊形ACED為梯形，且平面ABC⊥平面ACED，
∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC，（2分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC
∴AB⊥平面ACED，即AB為四棱錐B-ACED的高，（4分）
∵，
∴CE=2，（6分）
作BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD，
∴GF為三角形BCE的中位線(xiàn)，
∴GF∥EC∥DA，，（8分）
∴四邊形GFAD為平行四邊形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，∴AF∥平面BDE．（10分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，（12分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，
又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行，平面與平面垂直的判定，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題，高考常考題．