Question

如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F(xiàn)為BC的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCE．
（Ⅲ）求凸多面體ABCED的體積．

Answer 1

分析：（I）作BE的中點G，連接GF，GD，由三角形中位線定理，及平行四邊形判定定理可得四邊形GFAD為平行四邊形，進而AF∥GD，再由線面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（Ⅱ）由AB=AC，F(xiàn)為BC的中點可得AF⊥BC，結(jié)合GF⊥AF及線面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE進而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE． 
（Ⅲ）由已知可判斷四邊形ACED為梯形，且平面ABC⊥平面ACED，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥平面ACED，即AB為四棱錐B-ACED的高，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）作BE的中點G，連接GF，GD，∴GF為三角形BCE的中位線，
∴GF∥EC∥DA，GF=

1

2

CE=DA，…（5分）
∴四邊形GFAD為平行四邊形，
∴AF∥GD，又GD?平面BDE，∴AF∥平面BDE．…（7分）
（Ⅱ）∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點，
∴AF⊥BC，又GF⊥AF，∴AF⊥平面BCE，…（10分）
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，又GD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．       …（12分）
（Ⅲ）∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴四邊形ACED為梯形，且平面ABC⊥平面ACED，∵BC²=AC²+AB²，∴AB⊥AC，…（1分）
∵平面ABC∩平面ACED=AC，∴AB⊥平面ACED，
即AB為四棱錐B-ACED的高，…（2分）
∴VB-ACED=

1

3

•SACED•AB=

1

3

×

1

2

×(1+CE)×1×1=

1

2

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是得到四邊形GFAD為平行四邊形，（II）的關(guān)鍵是證得GD⊥平面BCE，（III）的關(guān)鍵是計算出棱錐的底面面積及高．