Question

如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=

2

，CE=2，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面BED⊥平面BCE；
（2）求凸多面體ABCED的體積．

Answer 1

分析：（1）取BE的中點(diǎn)G，連結(jié)DG、FG，利用等腰三角形“三線合一”證出AF⊥BC，根據(jù)三角形中位線定理結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)證出GF⊥AF，從而得出AF⊥平面BEC，由DG∥AF得DG⊥平面BEC，再根據(jù)面面垂直的定理即可證出平面BED⊥平面BCE；
（2）根據(jù)EC⊥平面ABC，利用面面垂直的判定證出平面ACDE⊥平面ABC，由勾股定理的逆定理證出AB⊥AC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得AB⊥平面ACDE，可得AB為四棱錐B-ACED的高．算出直角梯形ACED的面積，并利用錐體的體積公式算出四棱錐B-ACED的體積，即可得出凸多面體ABCED的體積．

解答：解：（1）取BE的中點(diǎn)G，連結(jié)DG、FG，
∵AB=AC=1，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．
∵GF是△BCE的中位線，∴EC∥GF，
∵EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又∵AF?平面ABC，∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，∴DG⊥平面BCE．
又∵DG?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE；
（2）∵AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴四邊形ACED為直角梯形；
∵EC?平面ACDE，EC⊥平面ABC，∴平面ACDE⊥平面ABC，
∵AC²+AB²=2=BC²，∴∠BAC=90°，可得AB⊥AC，
∵AB?平面ABC，平面ACDE∩平面ABC，
∴AB⊥平面ACDE，可得AB為四棱錐B-ACED的高．
由此可得V_B-ACED=

1

3

×SABCD×AB=

1

3

×

1

2

×（1+2）×1×1=

1

2

，即凸多面體ABCED的體積為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出凸多面體滿足的條件，求證面面垂直并求錐體的體積．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．