Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當(dāng)n≥2時，點（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$）在f（x）=x+2的圖象上，且S₁=$\frac{1}{2}$，且b_n=2（1-n）a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)f（n）=$\frac{_{n+2}}{（n+5）_{n+1}}$，求f（n）的最大值及相應(yīng)的n值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+2，運用等差數(shù)列的通項公式可得，S_n=$\frac{1}{2n}$，由a_n=S_n-S_n-1，即可得到數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求得f（n）=$\frac{n+1}{（n+2）（n+5）}$=$\frac{1}{（n+1）+\frac{4}{n+1}+5}$，由基本不等式即可得到f（n）的最大值及相應(yīng)的n值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+2，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+2（n-1）=2n，
即為S_n=$\frac{1}{2n}$，則a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n-1）}$
=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n-1）n}$；b_n=2（1-n）a_n=$\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）f（n）=$\frac{_{n+2}}{（n+5）_{n+1}}$=$\frac{n+1}{（n+2）（n+5）}$
=$\frac{1}{（n+1）+\frac{4}{n+1}+5}$，
由（n+1）+$\frac{4}{n+1}$≥2$\sqrt{（n+1）•\frac{4}{n+1}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，取得等號．
即有f（n）≤$\frac{1}{4+5}$=$\frac{1}{9}$，
則f（n）的最大值為$\frac{1}{9}$及相應(yīng)的n=1．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式，以及數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．