Question

x₁x₂分別是方程x+lgx=3和方程x+10^x=3的一個(gè)根，則x₁+x₂=________．

Answer 1

3
分析：設(shè)f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=3-x，方程x+lgx=3和方程x+10^x=3的根的問(wèn)題用圖象的交點(diǎn)來(lái)解釋，
解答：方程方程x+lgx=3和方程x+10^x=3的可化為方程lgx=3-x和方程10^x=3-x的，令f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=3-x，畫圖：

顯然x₁是函數(shù)f（x）=lgx 與 y=3-x圖象的交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)，x₂是函數(shù)g（x）=10^x與 y=3-x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于函數(shù) f（x）=lgx，與g（x）=10^x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，直線 y=3-x也關(guān)于y=x 對(duì)稱，且直線 y=3-x與它們都只有一個(gè)交點(diǎn)，故這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱．又因?yàn)?兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)是 y=3-x與y=x 的交點(diǎn)，即（，），所以x₁+x₂=3．
故填3．
點(diǎn)評(píng)：利用圖象研究方程的根一般都是針對(duì)不需要或不能將根求出的題型，其基本思想是將判斷方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．本題利用對(duì)數(shù)函數(shù) 與指數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)，而互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合，富有創(chuàng)意．