Question

14．如圖EF為兩條直線l₁、l₂的公垂線段，且EF=9，點B、D分別在兩平行直線上運動，且A、B、C、D滿足$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0．
（1）如圖1，若點B，D在線段EF同側(cè)運動，且∠BAD=60°，試求四邊形ABCD的面積；
（2）如圖2，若點B，D在線段EF異側(cè)側(cè)運動，試求四邊形ABCD的面積的最小值；

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0得出四邊形ABCD是菱形；在Rt△FAD與Rt△ABF中，由∠BAD=60°，利用三角恒等變換求出邊長AD的值，再計算菱形ABCD的面積；
（2）設(shè)∠ABC=α，∠CBF=β，在Rt△AED與Rt△ABF中，得出α與β的關(guān)系，寫出菱形ABCD面積表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出它的最小值即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，∴四邊形ABCD是菱形；
又∵$\overrightarrow{FA}$=2$\overrightarrow{AE}$，EF=9，∴AE=3，AF=6；
設(shè)AD=x，在Rt△FAD與Rt△ABF中，
cos∠EAD=$\frac{3}{x}$，cos∠FAB=$\frac{6}{x}$，
sin∠EAD=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-9}}{x}$，sin∠FAB=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-36}}{x}$；
又∠BAD=60°，∴∠EAD+∠FAB=120°，
∴cos（∠EAD+∠FAB）=-$\frac{1}{2}$，
即$\frac{3}{x}$•$\frac{6}{x}$-$\frac{\sqrt{{x}^{2}-9}}{x}$•$\frac{\sqrt{{x}^{2}-36}}{x}$=-$\frac{1}{2}$，
解得x=2$\sqrt{21}$；
∴菱形ABCD的面積為S=x²•sin60°=42$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)∠ABC=α，∠CBF=β，其中α∈（0，$\frac{π}{3}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$）；
再設(shè)AB=x，則在Rt△AED與Rt△ABF中，有$\left\{\begin{array}{l}{xsinβ=3}\\{xsin（α+β）=6}\end{array}\right.$；
兩式相除得sin（α+β）=2sinβ，
由此可得tanβ=$\frac{sinα}{2-cosα}$，
∴菱形ABCD的面積為
S′=x²sinα=$\frac{9}{{sin}^{2}β}$•sinα=9sinα•（1+$\frac{1}{{tan}^{2}β}$）=9•$\frac{5-4cosα}{sinα}$；
令t=$\frac{5-4cosα}{sinα}$，則tsinα+4cosα=5，
∴$\sqrt{{t}^{2}+16}$sin（α+φ）=5，
∴sin（α+φ）=$\frac{5}{\sqrt{{t}^{2}+16}}$≤1，
解得t≥3；
∴當(dāng)t=3時，3sinα+4cosα=5，
此時sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$符合題意；
∴菱形ABCD面積的最小值為27．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．