Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$-x，對$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$，有f（1-x）≥$\frac{a}{f（x）}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{49}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{2}{x}$-x為[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]上的減函數(shù)，可得對$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$，有f（x）＞0，把f（1-x）≥$\frac{a}{f（x）}$恒成立轉(zhuǎn)化為a≤f（1-x）•f（x）對$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$恒成立，結(jié)合
x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，有1-x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，可得當(dāng)f（1-x）=f（x），即$x=\frac{1}{2}$時，f（1-x）•f（x）取得最小值得答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2}{x}$-x為[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]上的減函數(shù)，∴$f（x）_{min}=f（\frac{2}{3}）=\frac{2}{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}＞0$，
則f（1-x）≥$\frac{a}{f（x）}$恒成立轉(zhuǎn)化為a≤f（1-x）•f（x）對$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$恒成立，
又x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，1-x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，
∴當(dāng)f（1-x）=f（x），即$\frac{2}{1-x}-1+x=\frac{2}{x}-x$，也就是$x=\frac{1}{2}$時，
$[f（1-x）•f（x）]_{min}={f}^{2}（\frac{1}{2}）=（\frac{7}{2}）^{2}=\frac{49}{4}$．
∴a$≤\frac{49}{4}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{49}{4}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{49}{4}$]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時函數(shù)f（1-x）•f（x）取得最小值，屬中高檔題．