Question

18．已知點F（-c，0）（c＞0）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的左焦點，離心率為e，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x²+y²=c²交于點P，且P在拋物線y²=4cx上，則e²=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+3}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+2}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖，設(shè)拋物線y²=4cx的準線為l，作PQ⊥l于Q，
設(shè)雙曲線的右焦點為F′，P（x，y）．
由題意可知FF′為圓x²+y²=c²的直徑，
∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=$\frac{a}$，|FF′|=2c，
滿足$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4cx①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}②}\\{\frac{y}{x+c}=\frac{a}③}\end{array}\right.$，
將①代入②得x²+4cx-c²=0，
則x=-2c±$\sqrt{5}$c，
即x=（$\sqrt{5}$-2）c，（負值舍去）
代入③，即y=$\frac{bc（\sqrt{5}-1）}{a}$，再將y代入①得，$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}-8}{6-2\sqrt{5}}$=e²-1
即e²=1+$\frac{4\sqrt{5}-8}{6-2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，掌握拋物線的性質(zhì)、雙曲線的漸近線、直線平行的性質(zhì)、圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．