Question

已知橢圓C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），短軸長為2，離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若過點P（1，0）的任一直線l交橢圓C于A，B兩點（長軸端點除外），證明：存在一定點Q（x₀，0），使

QA•

QB

為定值，并求出該定點坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意得b=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l：x=ty+1，將其代入橢圓

x2

4

+y2=1，得（t²+4）y²+2ty-3=0，由此利用韋達定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明存在一定點Q（x₀，0），使

QA•

QB

為定值，并求出該定點坐標．

解答： （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）由題意得b=1，又e=

3

2

，即

c

a

=

3

2

，
∴c2=

3

4

a2，即b2=

1

4

a2，
∴a²=4，∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意設(shè)直線l：x=ty+1，
將其代入橢圓

x2

4

+y2=1，消去x化簡得（t²+4）y²+2ty-3=0，
由韋達定理

y1+y2= -2t t2+4 y1•y2= -3 t2+4

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

QA

=(x1-x0，y1) ， 

QB

=(x2-x0，y2)，
∴

QA

•

QB

=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2-(x1+x2)x0+x02+y1y2
=(ty1+1)(ty1+1)-[t(y1+y2)+2]x0+x02+y1y2
=(t2+1)y1y2+t(1-x0)(y1+y2)+(x0-1)2
=(t2+1)•

-3

t2+4

+t(1-x0)•

-2t

t2+4

+(x0-1)2
=

(x02-4)t2+4x02-8x0+1

t2+4

，
∵對過點P的任意直線，使

QA

•

QB

為定值，
∴只要

x02-4

1

=

4x02-8x0+1

4

，
解得x0=

17

8

，此時

QA

•

QB

=

33

64

，定點Q(

17

8

，0)．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與證明，并考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的合理運用．