Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上的最小值為3，求實數(shù)的值．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）這是一個由函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)，求參數(shù)取值范圍的問題，可轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大于或等于0的一個恒成立問題，恒成立問題是我們所熟悉的問題，可分離參數(shù)解答，也可由函數(shù)本身的性質(zhì)作出判斷；（2）這是一個求含參函數(shù)在某區(qū)間上的最小值問題，可通過導(dǎo)數(shù)的符號去判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當然一般會涉及對參數(shù)的討論，之后利用單調(diào)性則可求出函數(shù)的最小值，再由最小值為3，就可求出參數(shù)的值.
試題解析：（1）∵，∴．
∵在上是增函數(shù)，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．
令，則≤．
∵在上是增函數(shù)，∴．
∴≤1．所以實數(shù)的取值范圍為．
（2）由（1）得，．
①若，則，即在上恒成立，此時在上是增函數(shù)．
所以，解得（舍去）．
②若，令，得．當時，，所以在上是減函數(shù)，當時，，所以在上是增函數(shù)．
所以，解得（舍去）．
③若，則，即在上恒成立，此時在上是減函數(shù)．
所以，所以．