Question

如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角E-AD-B的正切值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BE的中點F、AE的中點G，連接GD，GD，CF，由已知得CF⊥BF，CF⊥AB，從而DG⊥平面ABE，由此能證明平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）以B為原點，以過B垂直于平面ABCD的直線為x軸，BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ADE的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法求出二面角E-AD-B的余弦值，再由同角三角函數(shù)間的關(guān)系能求出二面角E-AD-B的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：取BE的中點F、AE的中點G，
連接GD，GD，CF，
∵AB⊥平面BCE，△BCE是正三角形，
∴CF⊥BF，CF⊥AB，
∴CF⊥平面ABE，
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：以B為原點，以過B垂直于平面ABCD的直線為x軸，
BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)AB=BC=2CD=2，
則B（0，0，0），A（0，0，2），
D（0，2，1），E（

3

，1，0），

AE

=（

3

，1，-2），

AD

=（0，2，-1），
設(shè)平面ADE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AD =2y-z=0 n • AE = 3 x+y-2z=0

，
取y=1，得

n

=（

3

，1，2），
又平面ABD的法向量

m

=（1，0，0），
設(shè)二面角E-AD-B的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

3

8

=

6

4

，
sinθ=

1-( 6 4 )2

=

10

4

，
tanθ=

sinθ

cosθ

=

6 4

10 4

=

15

5

，
∴二面角E-AD-B的正切值為

15

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運用．