Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=-

7

6

，1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，數(shù)列中是否在含有a₁在內(nèi)的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．若存在，請(qǐng)求出此三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*），當(dāng)n≥2時(shí)，1+a₁+a₂+…+a_n-1-λa_n=0，利用遞推式可得

an+1

an

=

1+λ

λ

．可得數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始是等比數(shù)列，即可得出．
（2）當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-

1

2

×4n-2，假設(shè)數(shù)列中存在在含有a₁在內(nèi)的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．分別為-

7

6

，-

1

2

×4n-2，-

1

2

×4m-2．可得-4^n-2=-

7

6

-

1

2

×4m-2，判斷即可．

解答： 解：（1）∵1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*），
當(dāng)n≥2時(shí)，1+a₁+a₂+…+a_n-1-λa_n=0，
∴a_n-λa_n+1+λa_n=0，
∴

an+1

an

=

1+λ

λ

．
當(dāng)n=1時(shí)，1+a₁-λa₂=0，可得a₂=-

1

6λ

，
∴

a2

a1

=

1

7λ

，
當(dāng)n=2時(shí)，1+a₁+a₂-λa₃=0，∴1-

7

6

-

1

6λ

-λa₃=0，
∴a3=-

λ+1

6λ2

．
∴

a3

a2

=

λ+1

λ

．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始是等比數(shù)列，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=(-

1

6λ

)•(

λ+1

λ

)n-2，
∴an=

- 7 6 ，n=1 (- 1 6λ )•( λ+1 λ )n-2

．
（2）當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-

1

2

×4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=-

7

6

．
假設(shè)數(shù)列中存在在含有a₁在內(nèi)的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．
分別為-

7

6

，-

1

2

×4n-2，-

1

2

×4m-2．
則-4^n-2=-

7

6

-

1

2

×4m-2，
化為2×4ⁿ-4^m=

112

3

，
左邊是整數(shù)，右邊不是整數(shù)，因此不成立．
故假設(shè)不成立，即數(shù)列中不存在在含有a₁在內(nèi)的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．