9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$為奇函數(shù),且定義域?yàn)椋?1,1),$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$,求f(x)的解析式.

分析 由函數(shù)f(x)是定義在(-1,1)上的奇函數(shù),所以f(0)=0,再據(jù)$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$可求出a的值,即可求f(x)的解析式.

解答 解:∵函數(shù)$f(x)=\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義域?yàn)椋?1,1)上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,∴b=0;
又$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$,∴$\frac{\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{5}$
∴a=1.
∴f(x)=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性,充分理解以上性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.利用已證結(jié)論解決問題是常用的方法,注意體會(huì)和使用.

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19.不等式(x2+1)(x-1)≥0的解集為{x|x≥1}.

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20.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{1-{e}^{-x},x≤0}\\{\sqrt{2x},x>0}\end{array}\right.$,若|f(x)|≥ax,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  )
A.(-∞,0]B.(-∞,-1]C.[-2,0]D.[-1,0]

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17.己知集合M={x|-2<x<3},N={x|lgx≥0},則M∩N=( 。
A.(-2,+∞)B.[1,3)C.(-2,-1]D.(-2,3)

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14.設(shè)函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}3x-1,x<1\\{2^x},x≥1.\end{array}\right.$,則$f(f(\frac{2}{3}))$=2;若f(f(a))=1,則a的值為$\frac{5}{9}$.

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1.設(shè)集臺(tái)A={x|x<5},B={x|x≥-2},則A∩B={x|-2≤x<5}.

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18.長(zhǎng)為1,寬為a($\frac{1}{2}$<a<1)的矩形紙片,剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形(稱為第1次操作),剩下矩形長(zhǎng)為原矩形的寬,如圖,再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形(稱為第2次操作),剩下矩形長(zhǎng)為第二個(gè)矩形的寬,如此反復(fù)操作下去,若在第n次操作后,剩下的矩形為正方形,則操作終止.
(1)當(dāng)a=$\frac{3}{5}$時(shí),求正整數(shù)n的最大值;
(2)記第一個(gè)矩形的長(zhǎng)為a1=1,第二個(gè)矩形的長(zhǎng)為a2=a,以此類推,第n個(gè)矩形的長(zhǎng)為an,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若存在一個(gè)正數(shù)a($\frac{1}{2}$<a<1),使對(duì)于任意的正整數(shù)n(n≥3),都有an+1<an,求證2<Sn<3.

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19.如果對(duì)任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=2.
(1)求f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)求$\frac{f(2)}{f(1)}$+$\frac{f(4)}{f(3)}$+$\frac{f(6)}{f(5)}$+…+$\frac{f(2012)}{f(2011)}$+$\frac{f(2014)}{f(2013)}$+$\frac{f(2016)}{f(2014)}$.

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