Question

18．長為1，寬為a（$\frac{1}{2}$＜a＜1）的矩形紙片，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第1次操作），剩下矩形長為原矩形的寬，如圖，再剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第2次操作），剩下矩形長為第二個(gè)矩形的寬，如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．
（1）當(dāng)a=$\frac{3}{5}$時(shí)，求正整數(shù)n的最大值；
（2）記第一個(gè)矩形的長為a₁=1，第二個(gè)矩形的長為a₂=a，以此類推，第n個(gè)矩形的長為a_n，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若存在一個(gè)正數(shù)a（$\frac{1}{2}$＜a＜1），使對(duì)于任意的正整數(shù)n（n≥3），都有a_n+1＜a_n，求證2＜S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）求出n=1，2，3時(shí)，剩下矩形的長和寬，即可得到n的最大值；
（2）求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)，再將n-2個(gè)式子相加，可得S_n=2+a-a_n-1，再結(jié)合a的范圍和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，即進(jìn)行第一次操作后，剩下矩形的長為a=$\frac{3}{5}$，
此時(shí)矩形的寬為1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
當(dāng)n=2時(shí)，即進(jìn)行第二次操作后，剩下矩形的長為$\frac{2}{5}$，
此時(shí)矩形的寬為$\frac{3}{5}$-$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$；
當(dāng)n=3時(shí)，即進(jìn)行第三次操作后，剩下矩形的長為$\frac{1}{5}$，
此時(shí)矩形的寬為$\frac{2}{5}$-$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{5}$．
依題意，此時(shí)操作停止，
故所求正整數(shù)n的最小值為3；
（2）證明：由題意，可得數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=a，a₃=a₁-a₂，
a₄=a₂-a₃，…，a_n=a_n-2-a_n-1，（n≥3，n∈N），
將以后n-2個(gè)式子相加，可得
S_n-a₁-a₂=a₁-a_n-1，即S_n-1-a=1-a_n-1，
則S_n=2+a-a_n-1，
由$\frac{1}{2}$＜a＜1，則當(dāng)n≥3時(shí)，0＜a_n-1＜a＜1，
即有a+2-a_n-1＜2+a＜2+1=3，
又2+a-a_n-1＞2+a-a=2，
則有2＜S_n＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查操作型的應(yīng)用題的解法，考查數(shù)列的求和方法：累加法和相消求和，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．