Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R，求：
（1）函數(shù)y的最大值；
（2）函數(shù)y的周期；
（3）函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式為 y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，可得函數(shù)的最大值．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，求得函數(shù)的周期．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
故函數(shù)的最大值為

1

2

+

5

4

=

7

4

．
（2）函數(shù)的周期為

2π

2

=π．
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．