【題目】如圖,在四棱錐中,是邊長為2的正方形,平面平面,直線與平面所成的角為,.
(1)若,分別為,的中點,求證:直線平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)由平面平面得到平面,從而,根據(jù),得到平面,得到,結(jié)合,得到平面;
(2)為原點,建立空間坐標系,得到平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,得到法向量之間的夾角余弦,從而得到二面角的正弦值.
(1)證明:∵平面平面,平面平面,
,平面,
∴平面,
則為直線與平面所成的角,為,
∴,
而平面,
∴
又,為的中點,
∴,
平面,
則平面,
而平面
∴,
又,分別為,的中點,
則,
正方形中,,∴,
又平面,,
∴直線平面;
(2)解:以為坐標原點,分別以,所在直線為,軸,
過作的平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系,
則,,,,
,,,
設平面的法向量為,
則,即,
取,得;
設平面的法向量為,
則,即,
取,得.
∴.
∴二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓的頂點為,左、右焦點分別為、,過點A且斜率為的直線與y軸交于點P,與橢圓交于另一個點B,且點B在x軸上的射影恰好為點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)M為橢圓C上一動點,是橢圓C長軸上的一個點,直線MQ與橢圓C的另一個交點為N,令,若t值與點M的位置無關,則稱此時的點Q為“穩(wěn)定點”,試求出所有“穩(wěn)定點”,若沒有,請說明理由.
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【題目】已知曲線:,直線:(是參數(shù)).
(1)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
(2)過曲線上任一點作與夾角為的直線,交于點,求的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某“雙一流”大學專業(yè)獎學金是以所學專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù),分為專業(yè)一等獎學金(獎金額元)、專業(yè)二等獎學金(獎金額元)及專業(yè)三等獎學金(獎金額元),且專業(yè)獎學金每個學生一年最多只能獲得一次.圖(1)是統(tǒng)計了該校年名學生周課外平均學習時間頻率分布直方圖,圖(2)是這名學生在年周課外平均學習時間段獲得專業(yè)獎學金的頻率柱狀圖.
(Ⅰ)求這名學生中獲得專業(yè)三等獎學金的人數(shù);
(Ⅱ)若周課外平均學習時間超過小時稱為“努力型”學生,否則稱為“非努力型”學生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認為該校學生獲得專業(yè)一、二等獎學金與是否是“努力型”學生有關?
(Ⅲ)若以頻率作為概率,從該校任選一名學生,記該學生年獲得的專業(yè)獎學金額為隨機變量,求隨機變量的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(m﹣1)x2+3x﹣2m,(m∈R).
(1)解關于x的不等式f(x)+x2﹣1<4x﹣m;
(2)若f(x)<0的解集為(﹣4,1),g(x)=f(x)﹣x+5,對于n∈N*,證明:.
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【題目】已知函數(shù) (其中),若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心.
(1)求的解析式,并求的最小正周期;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍,縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象,用 “五點作圖法”作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國南宋數(shù)學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數(shù)規(guī)律,現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下,從左到右依次排列,得數(shù)列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,記作數(shù)列,若數(shù)列的前項和為,則_____.
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