【題目】橢圓的頂點為,左、右焦點分別為、,過點A且斜率為的直線與y軸交于點P,與橢圓交于另一個點B,且點B在x軸上的射影恰好為點.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)M為橢圓C上一動點,是橢圓C長軸上的一個點,直線MQ與橢圓C的另一個交點為N,令,若t值與點M的位置無關(guān),則稱此時的點Q為“穩(wěn)定點”,試求出所有“穩(wěn)定點”,若沒有,請說明理由.
【答案】(1);(2)和
【解析】
(1)由題意可得,直線,聯(lián)立即可求出,再求出即可得解;
(2)當(dāng)直線斜率不為0時,設(shè)直線MQ,,,聯(lián)立方程得,,轉(zhuǎn)化條件,,則,化簡即可得解,再驗證對于依然成立即可.
(1)點B在x軸上的射影恰好為點,橢圓頂點為,,
,,直線,
解得或(舍去),.
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)當(dāng)直線斜率不為0時,設(shè)直線MQ,,,不妨設(shè),
則,消去得,,
則,,
由弦長公式得,,
,
當(dāng)即時,為定值.
又 當(dāng),直線MQ方程為時,或,.
該橢圓穩(wěn)定點為和.
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【題目】從星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班,每人值2天班,如果甲不安排在星期一,乙不安排在星期六,那么值班方案種數(shù)為 .
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【題目】下列四個結(jié)論:
兩條直線和同一個平面垂直,則這兩條直線平行;
兩條直線沒有公共點,則這兩條直線平行;
兩條直線都和第三條直線垂直,則這兩條直線平行;
一條直線和一個平面內(nèi)任意直線沒有公共點,則這條直線和這個平面平行.
其中正確的個數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E—PC—A的正弦值.
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【題目】定義域和值域均為(常數(shù))的函數(shù)和y=g(x)的圖像如圖所示,給出下列四個命題:
(1)方程有且僅有三個解;
(2)方程有且僅有三個解;
(3)方程有且僅有九個解;
(4)方程有且僅有一個解;
那么,其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題:
①設(shè),為兩個定點,為非零常數(shù),若,則動點的軌跡為雙曲線;
②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
③雙曲線與橢圓有相同的焦點.
其中真命題的序號為_____(寫出所有真命題的序號).
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】砂糖橘是柑橘類的名優(yōu)品種,因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植砂糖橘,收獲時,該果農(nóng)隨機選取果樹20株作為樣本測量它們每一株的果實產(chǎn)量(單位:kg),獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]進行分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(45,50]上的果樹株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹株數(shù)的倍.
(1)求a,b的值;
(2)從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹里隨機抽取兩株,求產(chǎn)量在區(qū)間(55,60]上的果樹至少有一株被抽中的概率.
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【題目】如圖,在四棱錐中,是邊長為2的正方形,平面平面,直線與平面所成的角為,.
(1)若,分別為,的中點,求證:直線平面;
(2)求二面角的正弦值.
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