Question

7．觀(guān)察下列恒等式（α為任意數(shù)且sinα≠0）
$\frac{sinα}{sinα}$=1
$\frac{sin2α}{sinα}$=2cosα
$\frac{sin3α}{sinα}$=2cos2α+1
$\frac{sin4α}{sinα}$=2cos3α+2cosα
$\frac{sin5α}{sinα}$=2cos4α+2cos2α+1
$\frac{sin6α}{sinα}$=2cos5α+2cos3α+2cosα
…
（1）請(qǐng)按規(guī)律寫(xiě)出橫線(xiàn)中的式子；
（2）請(qǐng)歸納出一般的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；
（3）求cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$的值．

Answer 1

分析 由已知中的三角函數(shù)恒等式，可得：$\frac{sinnα}{sinα}=\left\{\begin{array}{l}2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，n為奇數(shù)\\ 2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，n為偶數(shù)\end{array}\right.$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：由已知中恒等式（α為任意數(shù)且sinα≠0）
$\frac{sinα}{sinα}$=1
$\frac{sin2α}{sinα}$=2cosα
$\frac{sin4α}{sinα}$=2cos3α+2cosα
$\frac{sin5α}{sinα}$=2cos4α+2cos2α+1
$\frac{sin6α}{sinα}$=2cos5α+2cos3α+2cosα
…
可得：$\frac{sinnα}{sinα}=\left\{\begin{array}{l}2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，n為奇數(shù)\\ 2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，n為偶數(shù)\end{array}\right.$，
故n=3時(shí)，（1）中式子為：$\frac{sin3α}{sinα}$=2cos2α+1，
（2）的證明如下：
證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
[2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1]sinα
=2cos（n-1）αsinα+2cos（n-3）αsinα+…+sinα
=sin[（n-1）α+α]-sin[（n-1）α-α]+sin[（n-3）α+α]-sin[（n-3）α-α]+…+sinα
=sinnα-sin（n-2）α+sin（n-2）α-sin（n-4）α+…+sinα
=sinnα
故$\frac{sinnα}{sinα}$=2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
[2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα]sinα
=2cos（n-1）αsinα+2cos（n-3）αsinα+…+2cosαsinα
=sin[（n-1）α+α]-sin[（n-1）α-α]+sin[（n-3）α+α]-sin[（n-3）α-α]+…+sin2α
=sinnα-sin（n-2）α+sin（n-2）α-sin（n-4）α+…+sin2α
=sinnα
故$\frac{sinnα}{sinα}$=2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，
綜上所述$\frac{sinnα}{sinα}=\left\{\begin{array}{l}2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+1，n為奇數(shù)\\ 2cos（n-1）α+2cos（n-3）α+…+2cosα，n為偶數(shù)\end{array}\right.$對(duì)于任意正整數(shù)恒成立．
（3）當(dāng)α=$\frac{π}{7}$時(shí)，cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$=cos12α+cos10α+cos8α+cos6α+cos4α+cos2α，
∵$\frac{sin13α}{sinα}$=$\frac{sin\frac{13π}{7}}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{sin（2π-\frac{π}{7}）}{sin\frac{π}{7}}$=$\frac{-sin\frac{π}{7}}{sin\frac{π}{7}}$=-1=2（cos12α+cos10α+cos8α+cos6α+cos4α+cos2α）+1=2（cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$）+1，
故cos$\frac{2π}{7}$+cos$\frac{4π}{7}$+cos$\frac{6π}{7}$+cos$\frac{8π}{7}$+cos$\frac{10π}{7}$+cos$\frac{12π}{7}$=-1

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀(guān)察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．