Question

15．求證：在二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c中，若x₁≠x₂，則使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要條件是“a＞0”

Answer 1

分析 利用作差法，結合充分條件和必要條件的定義進行證明即可．

解答 證明：$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c）-a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²-b•（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）-c
=$\frac{1}{2}$（ax₁²+bx₁+ax₂²+bx₂）-a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²-b•（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（ax₁²+ax₂²）-a（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²
=$\frac{1}{4}$（2ax₁²+2ax₂²-ax₁²-ax₂²-2ax₁x₂）
=$\frac{1}{4}$（ax₁²+ax₂²-2ax₁x₂）
=$\frac{1}{4}$a（x₁-x₂）²，
∵x₁≠x₂，∴（x₁-x₂）²＞0，
若f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立，則$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞0，此時a＞0，
反之，若a＞0，則$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞0，即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立，
故使“f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$成立”的充要條件是“a＞0”．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的證明，利用作差法，結合函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．