Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b_n+1=b_n+2^a_n．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用累加法，可求求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，bn+1=bn+2n
∴bn+1-bn=2n
∴n≥2時(shí)，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+2+…+2n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1
n=1時(shí)，結(jié)論也成立
∴b_n=2ⁿ-1；
（3）數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-2n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．