Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.

(1)求證：AD⊥平面CFG；

(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

Answer 1

[解析]　(1)△ABD中，因?yàn)?i>E是BD中點(diǎn)，

所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，

故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，

因?yàn)椤?i>DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，

從而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，

所以∠FED＝∠FEA，

故EF⊥AD，AF＝FD，又因?yàn)?i>PG＝GD，所以FG∥PA.

又PA⊥平面ABCD.

所以GF⊥AD.故AD⊥平面CFG.

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(，，0)，D(0，，0)，P(0,0，)，

故

即n₂＝(1，，2)從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為