Question

13．已知橢圓C的中心為坐標原點，F(xiàn)是該橢圓在y軸的正半軸上的一個焦點，其短軸長為$2\sqrt{2}$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F分別作斜率為k₁，k₂的直線交橢圓C，得到弦AB，CD它們的中點分別是M，N，當k₁k₂=1時，求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由短軸長為$2\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即可求得a的值，代入即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k₁x+1，代入橢圓方程，有韋達定理及中點坐標公式，即可求得M的坐標，同理求得N點坐標，求得直線MN的斜率，根據(jù)直線的兩點式方程，即可求得直線MN的方程，化簡整理可得y=3（k₁+k₂）x+2，因此直線MN過定點（0，3）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，設橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由短軸長為$2\sqrt{2}$，即2b=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，解得：a²=3，
∴橢圓C的方程$\frac{{y}^{2}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知：c=1，則焦點F（0，1），
顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k₁x+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k{x}_{1}+1}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+\frac{{x}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k₁²+3）x²+4k₁x-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}_{1}}{2{k}_{1}^{2}+3}$，x₁•x₂=-$\frac{4}{2{k}_{1}^{2}+3}$，
y₁+y₂=（kx₁+1）+（kx₂+1）=k（x₁+x₂）+2=$\frac{6}{2{k}_{1}^{2}+3}$，
∴弦AB的中點M（-$\frac{2{k}_{1}}{2{k}_{1}^{2}+3}$，$\frac{3}{2{k}_{1}^{2}+3}$），
同理，弦CD的中點N（-$\frac{2{k}_{2}}{2{k}_{2}^{2}+3}$，$\frac{3}{2{k}_{2}^{2}+3}$），
則直線MN的方程是：$\frac{y-\frac{3}{2{k}_{1}^{2}+3}}{\frac{3}{2{k}_{2}^{2}+3}-\frac{3}{2{k}_{1}^{2}+3}}$=$\frac{x+\frac{2{k}_{1}}{2{k}_{1}^{2}+3}}{-\frac{2{k}_{2}}{2{k}_{2}^{2}+3}+\frac{2{k}_{1}}{2{k}_{1}^{2}+3}}$，
整理得：$\frac{y-\frac{3}{2{k}_{1}^{2}+3}}{3（{k}_{1}+{k}_{2}）}$=$\frac{x+\frac{2k}{2{k}_{1}^{2}+3}}{3-2{k}_{1}{k}_{2}}$，
由k₁k₂=1，
則y=3（k₁+k₂）x+$\frac{3（{k}_{1}+{k}_{2}）×2{k}_{1}+3}{2{k}_{1}^{2}+3}$=3（k₁+k₂）x+3，
直線MN的方程為：y=3（k₁+k₂）x+3，
∴直線MN過定點（0，3）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單集合性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理即中點坐標公式的應用，考查計算能力，屬于難題．