Question

已知直線y=kx+1 與拋物線x²=4y 相交于A，B兩點，且該拋物線過A，B兩點的切線交于C，點C的軌跡記為E，M，N是E上不同的兩點，直線AM，BN都與y軸平行，則

FM

•

FN

=

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：如圖所示，設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．把直線方程y=kx+1與拋物線方程聯(lián)立可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．由x²=4y利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得y′=

1

2

x．即可得到拋物線過A，B兩點的切線分別為：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)．可得E點的軌跡方程y=kx-2k²-1．可得M(x1，kx1-2k2-1)．N(x2，kx2-2k2-1)．又F（0，1），即可得出

FM

•

FN

=(x1，kx1-2k2-2)•(x2，kx2-2k2-2)．

解答： 解：如圖所示，設(shè)A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，化為x²-4kx-4=0，可得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y得y′=

1

2

x．
∴過點A，B的切線的斜率分別為：

1

2

x1，

1

2

x2．
∴拋物線過A，B兩點的切線分別為：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)．
兩式相加可得2y=

1

2

x(x1+x2)-

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]，
把x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4代入可得y=kx-2k²-1．即為E點的軌跡方程．
令x=x₁，則y_M=kx1-2k2-1，得到M(x1，kx1-2k2-1)．
同理可得N(x2，kx2-2k2-1)．
又F（0，1），
∴

FM

•

FN

=(x1，kx1-2k2-2)•(x2，kx2-2k2-2)=x₁x₂+k²x₁x₂-k（2k²+2）（x₁+x₂）+（2k²+2）²=-4（1+k²）-4k²（2k²+2）+（2k²+2）²=-4k²-4k⁴．
故答案為：-4k²-4k⁴．

點評：本題綜合考查了直線與拋物線之間的位置關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義、切線的方程、直線相交、向量的數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．