Question

函數f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值為g（a）（a∈R）．
（1）當a=1時，求g（a）；  
（2）求g（a）；
（3）若g(a)=

1

2

，求a及此時f（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：綜合題,三角函數的求值

分析：（1）當a=1時，可求得f（x）=2(cosx-

1

2

)2-

7

2

，從而知當cosx=

1

2

時，y_min=-

7

2

，于是可求得g（a）；  
（2）通過二次函數的配方可知f（x）=2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1（-1≤cosx≤1），通過對

a

2

范圍的討論，利用二次函數的單調性即可求得g（a）；
（3）由于g（a）=

1

2

≠1，只需對a分a＞2與-2≤a≤2討論，即可求得a及此時f（x）的最大值．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=-2sin²x-2cosx-1
=-2（1-cos²x）-2cosx-1
=2cos²x-2cosx-3
=2(cosx-

1

2

)2-

7

2

，
∵-1≤cosx≤1．
∴當cosx=

1

2

時，y_min=-

7

2

，
即當a=1時，g（a）=-

7

2

；  
（2）由f（x）=1-2a-2acosx-2sin²x
=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）
=2cos²x-2acosx-（2a+1）
=2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1，這里-1≤cosx≤1．
①若-1≤

a

2

≤1，則當cosx=

a

2

時，f（x）_min=-

a2

2

-2a-1；
②若 

a

2

＞1，則當cosx=1時，f（x）_min=1-4a；
③若 

a

2

＜-1，則當cosx=-1時，f（x）_min=1．
因此g（a）=

1，a＜-2 - a2 2 -a-1，-2≤a≤2 1-4a，a＞2

．
（2）∵g（a）=

1

2

．
∴①若a＞2，則有1-4a=

1

2

，得a=

1

8

，矛盾；
②若-2≤a≤2，則有-

a2

2

-2a-1=

1

2

，即a²+4a+3=0，
∴a=-1或a=-3（舍）．
∴g（a）=

1

2

時，a=-1．
此時f（x）=2（cosx+

1

2

^）2+

1

2

，
當cosx=1時，f（x）取得最大值為5．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，著重考查二次函數的配方法及單調性的應用，突出考查分類討論思想與方程思想，考查綜合應用能力，屬于難題．