Question

如圖，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右頂點為A₁，A₂，左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，其中F₁，F(xiàn)₂是A₁A₂的三等分點，A是橢圓上任意一點，且|AF₁|+|AF₂|=6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AF₁與橢圓交于另一點B，與y軸交于一點C，記m=，n=，若點A在第一象限，求m+n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵F₁，F(xiàn)₂是A₁A₂的三等分點，∴a=3c
又∵|AF₁|+|AF₂|=6，∴a=3
∴c=1，∴b²=8
∴橢圓C的方程為：+=1…（4分）
（2）F₁（-1，0），當(dāng)直線與x軸重合時，顯然不合題意，
當(dāng)直線不與x軸重合時，設(shè)直線AF₁的方程為：x=my-1
代入到橢圓方程并消元整理得：（8m²+9）y²-16my-64=0 …①
△=16²×9（m²+1）＞0恒成立；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是方程①的兩個解，由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=，y₁y₂=-
在x=my-1中，令x=0得C點坐標(biāo)為（0，）…（7分）
m====（∵A在第一象限，∴x₁=my₁-1＞0，y₁＞0）
同理：n==…（9分）
∴m+n=+===2+
∵A在第一象限，∴C點在橢圓內(nèi)部
∴0＜＜2，∴m²＞
∴8m²-1＞0，∴m+n＞2
∴m+n的取值范圍是（2，+∞）…（12分）
分析：（1）根據(jù)F₁，F(xiàn)₂是A₁A₂的三等分點，可得a=3c，利用|AF₁|+|AF₂|=6，可得a=3，從而可得橢圓C的方程；
（2）當(dāng)直線與x軸重合時，顯然不合題意；當(dāng)直線不與x軸重合時，設(shè)直線AF₁的方程代入到橢圓方程并消元整理利用韋達(dá)定理及C點坐標(biāo)，確定m==，n==，由此可確定m+n的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，確定m，n的表示是關(guān)鍵．