Question

如圖，橢圓C：+=1的右頂點是A，上下兩個頂點分別為B，D，四邊形DAMB是矩形（O為坐標原點），點E，P分別是線段OA，MA的中點．
（1）求證：直線DE與直線BP的交點在橢圓C上．
（2）過點B的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于R，S（不同于B點），且它們的斜率k₁，k₂滿足k₁•k₂=-求證：直線SR過定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定直線DE與BP的直線方程，可得交點坐標，滿足橢圓方程，可得結(jié)論；
（2）設(shè)出直線方程，求得R，S的坐標，利用R，S關(guān)于原點O對稱，即可得到結(jié)論．
解答：證明：（1）由題意，A（4，0），B（0，2），D（0，-2），E（2，0），P（4，1），
則直線DE的方程為y=x-2，直線BP的方程為
聯(lián)立方程，可得直線DE與BP的交點坐標為（）
∵橢圓C：+=1，∴（）滿足方程，
∴直線DE與直線BP的交點在橢圓C上．
（2）直線BR的方程為y=k₁x+2
解方程組，可得或
∴R的坐標為（，）
∵k₁•k₂=-，∴直線BS的斜率k₂=-，∴直線BS的方程為y=-x+2
解方程組得或
∴S的坐標為（，）
∴R，S關(guān)于原點O對稱
∴R，O，S三點共線
∴直線SR過定點，定點的坐標為O（0，0）．
點評：本題考查直線的交點，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．