如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點F1,F(xiàn)2和短軸的一個端點A構(gòu)成等邊三角形,點(,)在橢圓C上,直線l為橢圓C的左準(zhǔn)線.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點P是橢圓C上的動點,PQ⊥l,垂足為Q.是否存在點P,使得△F1PQ為等腰三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓方程,根據(jù)△AF1F2為正三角形可推斷出a和b的關(guān)系,設(shè)b2=3λ,a2=4λ,代入橢圓方程,進而把點()代入即可求得λ,則橢圓的方程可得.
(Ⅱ)根據(jù)(1)可求得橢圓的離心率,進而求得PF1和PQ的關(guān)系,假設(shè)PF1=F1Q根據(jù)PF1=PQ推斷出PF1+F1Q=PQ,與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾,假設(shè)不成立,再看若F1Q=PQ,設(shè)出P點坐標(biāo),則Q點坐標(biāo)可得,進而表示出F1Q和PQ求得x和y的關(guān)系,與橢圓方程聯(lián)立求得P點坐標(biāo).判斷出存在點P(-,±),使得△PF1Q為等腰三角
解答:解:(Ⅰ)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),
由已知△AF1F2為正三角形,所以=,=
設(shè)b2=3λ,a2=4λ,橢圓方程為+=λ.
橢圓經(jīng)過點(,),解得λ=1,
所以橢圓C的方程為+=1.
(Ⅱ)由=e=,得PF1=PQ.所以PF1≠PQ.
1若PF1=F1Q,∵PF1=PQ,∴PF1+F1Q=PQ,
與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾,所以PF1不可能與PQ相等.
②若F1Q=PQ,設(shè)P(x,y)(x≠±2),則Q(-4,y).
=4+x,
∴9+y2=16+8x+x2,
又由+=1,得y2=3-x2
∴9+3-x2=16+8x+x2,
x2+8x+4=0.
∴7x2+32x+16=0.
∴x=-或x=-4.
因為x∈(-2,2),所以x=-.所以P(-,±).
綜上,存在點P(-,±),使得△PF1Q為等腰三角
點評:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線AF1與橢圓交于另一點B,與y軸交于一點C,記m=數(shù)學(xué)公式,n=數(shù)學(xué)公式,若點A在第一象限,求m+n的取值范圍.

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