Question

20．設(shè)n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．證明：A或者B中必有兩個(gè)不同數(shù)的和是完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 運(yùn)用反證法，假設(shè)A、B兩組中都沒有不同的兩個(gè)數(shù)的和是完全平方數(shù)，逐步討論，得出與假設(shè)相矛盾的結(jié)果．

解答 證明：（反證法）假設(shè)A、B中都沒有不同的兩個(gè)數(shù)的和是完全平方數(shù)．
不妨設(shè)1在A中，且n≥15，
由于1+3=2²，1+15=4²，即3，15都不在A中，
所以3，15都在B中，
又因?yàn)?+6=3²，即6必不在B中，
即6必須在A，
而6+10=4²，即10必須在B中，
這時(shí)，B中已有兩個(gè)數(shù)10，15的和為完全平方數(shù)了，即10+15=5²，
所以，假設(shè)不成立，
故在A或B中，必有兩個(gè)不相同的數(shù)的和為完全平方數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用反證法證明集合問題，通過假設(shè)反復(fù)計(jì)算和推理得出A、B兩集合中元素的歸屬，直到得出矛盾，屬于中檔題．