Question

12．已知f（x）=2cos（ωx-$\frac{π}{2}$）cos（${ωx+\frac{π}{6}}$）+2sin²ωx-1（ω＞0），直線y=$\frac{1}{2}$與f（x）的圖象交點(diǎn)之間最短距離為π．
（Ⅰ） 求f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c若有（2a-c）cosB=bcosC，則求角B的大小以及f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由直線y=$\frac{1}{2}$與f（x）的圖象交點(diǎn)之間最短距離為π可知f（x）周期為π，求出ω，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求出
f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由（2a-c）cosB=bcosC得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，整理得cosB=$\frac{1}{2}$，于是B=$\frac{π}{3}$，由A的范圍得出2A-$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出f（A）的范圍．

解答 解；（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-sin²ωx+2sin²ωx-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵直線y=$\frac{1}{2}$與f（x）的圖象交點(diǎn)之間最短距離為π，
∴f（x）的周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$．∴$-\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴當(dāng)2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（A）取得最大值$\frac{1}{2}$，
當(dāng)2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$或2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-1．
∴f（A）的取值范圍是（-1，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)，確定A的范圍是關(guān)鍵．