Question

求證：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）＞

1

2

，（n∈N⁺）

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題可以用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

）成立，再用放縮法得到原命題成立．

解答： 證明：
先證：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

），（n∈N⁺） …①
（數(shù)學(xué)歸納法）
證明：（1）當(dāng)n=1時，
①式左邊=1-

1

3

=

2

3

，
①式右邊=

1

2

(1+

1

3

)=

1

2

×

4

3

=

2

3

，
∴左邊=右邊，不等式①成立．
當(dāng)n=2時，
①式左邊=(1-

1

3

)(1-

1

32

)=

2

3

×

8

9

=

16

27

，
①式右邊=

1

2

(1+

1

32

)=

1

2

×

10

9

=

5

9

=

15

27

，
∵

16

27

＞

15

27

，
∴左邊＞右邊，不等式①成立．
（2）當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時，不等式①成立，
即（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）≥

1

2

（1+

1

3k

），（n∈N⁺）
則當(dāng)n=k+1時，
有（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3k

）（1-

1

3k+1

）≥

1

2

（1+

1

3k

）（1-

1

3k+1

）=

1

2

(1+

1

3k

-

1

3k+1

-

1

32k+1

)＞

1

2

(1+

1

3k+1

)，
即n=k+1時，不等式①也成立．
由（1）（2）知：（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

），（n∈N⁺）．
∴（1-

1

3

）（1-

1

32

）…（1-

1

3n

）≥

1

2

（1+

1

3n

）＞

1

2

，（n∈N⁺）．
即原不等式成立．

點評：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法和放縮法，本題的難點在于命題①呈現(xiàn)，思維難度大，屬于難題．