Question

以橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的中心O為圓心，以

ab 2

為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為

3

2

，且過點(diǎn)(

1

2

，

3

)．
（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，m）作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，記△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S_△AOB，將S_△AOB表示為m的函數(shù)，并求S_△AOB的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓C的離心率，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，得到a=2b，設(shè)橢圓方程，再代入點(diǎn)(

1

2

，

3

)，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程；
（2）設(shè)切線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓x²+y²=1相切，得到k，m的關(guān)系式，求出三角形ABC的面積，運(yùn)用基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）橢圓C的離心率為

3

2

，即c=

3

2

a，
由c²=a²-b²，則a=2b，
設(shè)橢圓C的方程為

y2

4b2

+

x2

b2

=1，
∵橢圓C過點(diǎn)(

1

2

，

3

)，∴

3

4b2

+

1

4b2

=1，
∴b=1，a=2，以

ab 2

為半徑即以1為半徑，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

+x2=1，
橢圓C的“伴隨”方程為x²+y²=1．
（2）由題意知，|m|≥1．
易知切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m y 2   4 + x 2   =1

得(

k

2

+4)

x

2

+2k mx+m2-4=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

2km

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

．
又由l與圓x²+y²=1相切，所以

|m|

k2+1

=1，k²=m²-1．
所以|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[ 4k2m2 (k2+4)2 - 4(m2-4) k2+4 ]

=

4 3 |m|

m2+3

，
則S△AOB=

1

2

|AB|=

2 3 |m|

m2+3

，|m|≥1．
S△AOB=

2 3

|m|+ 3 |m|

≤

2 3

2 |m| 3 |m|

=1（當(dāng)且僅當(dāng)m=±

3

時取等號）
所以當(dāng)m=±

3

時，S_△AOB的最大值為1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式的運(yùn)用，考查直線與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．