【題目】已知直線過定點(diǎn)P(2,1).
(1)求經(jīng)過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程;
(2)若過點(diǎn)P的直線l與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程.
【答案】
(1)解:∵直線過定點(diǎn)P(2,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,
設(shè)直線方程為:x+y=a,將P(2,1)代入得:a=3,
故直線方程是:x+y﹣3=0
(2)解:由題意設(shè)直線的截距式方程為 =1(a,b>0),
∵直線過P(2,1),∴ + =1,
∴1= + ≥2 ,∴ab≥8,
當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=4且b=2時取等號,
∴△AOB的面積S= ab≥4,
∴△AOB面積的最小值為4,此時直線l的方程為 =1,
化為一般式方程可得x+2y﹣4=0
【解析】(1)設(shè)出直線的方程,代入P點(diǎn),求出即可;(2)由題意設(shè)直線的截距式方程為 =1(a,b>0),可得 + =1,由基本不等式可得ab≥8,可得△AOB的面積S≥4,可得此時直線的方程.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解截距式方程的相關(guān)知識,掌握直線的截距式方程:已知直線與軸的交點(diǎn)為A,與軸的交點(diǎn)為B,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a為非零整數(shù)),四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的,則錯誤的結(jié)論是( )
A.﹣1是f(x)的零點(diǎn)
B.1是f(x)的極值點(diǎn)
C.3是f(x)的極值
D.點(diǎn)(2,8)在曲線y=f(x)上
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【題目】已知數(shù)列{bn}滿足bn=3bn﹣1+2(n≥2),b1=1.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 滿足Sn=4an+2
(1)求證:{bn+1}是等比數(shù)列并求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.
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【題目】已知圓O:x2+y2=r2(r>0),點(diǎn)P為圓O上任意一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上),過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交圓O于另一點(diǎn)A,B.
(1)當(dāng)直線PA的斜率為2時,
①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣ ,﹣ ),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,且PA=2PB,求r的值;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在圓O上移動時,求證:直線OP與AB的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 是的中點(diǎn),底面為矩形, , , ,且平面平面,平面與棱交于點(diǎn),平面與平面交于直線.
(1)求證: ;
(2)求與平面所成角的正弦值為,求的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下:對任意的 ,令 ,下面說法錯誤的是( )
A.若 與 共線,則 ⊙ =0
B. ⊙ = ⊙
C.對任意的λ∈R,有 ⊙ = ⊙ )
D.( ⊙ )2+( )2=| |2| |2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足記數(shù)列的前項(xiàng)和為,
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求其通項(xiàng);
(2)求;
(3)問是否存在正整數(shù),使得成立?說明理由.
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【題目】已知△ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0,∠A的角平分線所在的直線方程為y=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2).
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)又過點(diǎn)C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)M,N,求△MON的面積最小值及此時直線l的方程.
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【題目】某工廠隨機(jī)抽取部分工人調(diào)查其上班路上所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),若上班路上所需時間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)求直方圖中a的值;
(2)如果上班路上所需時間不少于1小時的工人可申請在工廠住宿,若招工2400人,請估計所招工人中有多少名工人可以申請住宿;
(3)該工廠工人上班路上所需的平均時間大約是多少分鐘.
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