【題目】如圖,在四棱錐中, 的中點(diǎn),底面為矩形, , ,且平面平面,平面與棱交于點(diǎn),平面與平面交于直線.

(1)求證: ;

(2)求與平面所成角的正弦值為,求的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析:

(1)由題意結(jié)合面面平行的判斷定理可證得平面平面,結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量可得的余弦值是.

試題解析:

(1)矩形中,

, 平面,

平面,

平面,

平面平面,∴,

又平面平面,∴

.

(2)取中點(diǎn),連接,∵,∴,

又平面平面,且平面平面,

平面,連接,則在平面內(nèi)的射影,

與平面所成角,∴.

,由題,∴

中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以 , 的方向分別為, , 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

則: , , ,則 ,

設(shè)平面的法向量為,于是,∴,令,則,

∴平面的一個(gè)法向量

同理平面的一個(gè)法向量為,

.

可知二面角為鈍二面角

所以二面角的余弦值為

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下表:(注:年齡單位:歲)

年齡

頻數(shù)

贊成人數(shù)

(1))若以“年齡歲為分界點(diǎn)”,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”?

年齡不低于歲的人數(shù)

年齡低于歲的人數(shù)

合計(jì)

贊成

不贊成

合計(jì)

(2))若從年齡在, 的別調(diào)查的人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:參考數(shù)據(jù)如下:

參考公式: ,其中.

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