Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x＞1，f（x）＜ax²恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）化f（x）＜ax²為ax²-ax-lnx＞0，即化為a＞

lnx

x2-x

，令F（x）=

lnx

x2-x

，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，再由極限求之．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

；
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（0，-

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（-

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，-

1

a

），
單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）f（x）＜ax²可化為ax²-ax-lnx＞0，
可化為a＞

lnx

x2-x

令F（x）=

lnx

x2-x

，
F′（x）=

1 x (x2-x)-(2x-1)lnx

(x2-x)2

=

x-1-2xlnx+lnx

(x2-x)2

；
令G（x）=x+lnx-2xlnx-1，
則G′（x）=1+

1

x

-2lnx-2x

1

x

=

1

x

-2lnx-1；
G″（x）=-

1

x2

-2

1

x

=-

1+2x

x2

；
∵x＞1，故G″（x）＜0，
故G′（x）＜G′（1）=0，
故G（x）＜G（1）=1-1=0，
故F′（x）＜0；
故F（x）=

lnx

x2-x

在（1，+∞）上是減函數(shù)，
而

lim

x→1

F（x）=

lim

x→1

lnx

x2-x

=

lim

x→1

1 x

2x-1

=

lim

x→1

1

x(2x-1)

=1；
故a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題及二階求導(dǎo)問題，屬于難題．