Question

【題目】如圖，曲線Γ由曲線C1： （a＞b＞0，y≤0）和曲線C2： （a＞0，b＞0，y＞0）組成，其中點F1 ， F2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點，點F3 ， F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點，
（Ⅰ）若F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點A、B，求證：弦AB的中點M必在曲線C2的另一條漸近線上；
（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線Γ，若直線l1過點F4交曲線C1于點C、D，求△CDF1面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），∴ a 則曲線Γ的方程為 和 （y＞0）
（Ⅱ）曲線C2的漸近線為y=± ，如圖，設直線l：y=
則 2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0
△=（2m）2﹣42（m2﹣a2）=8a2﹣4m2＞0﹣
又由數(shù)形結合知m≥a，
設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0）則 ，
∴ ，
∴ ，即點M在直線y=﹣ 上．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，曲線C1為 ，點F4（6，0）．
設直線l1的方程為x=ny+6（n＞0）
由 （4n2+5）y2+48ny+64=0
△=（48n）2﹣4×64（4n2+5）＞0n2＞1
設C（x3 ， y3），D（x4 ， y4）由韋達定理：
|y3﹣y4|= ．
s△CDF1= |F1F4|×|y3﹣y4|=
令t= ，∴n2=t2+1，s△CDF1=64 ×
∵t＞0，∴ ，當且僅當t= 即n= 時等號成立
∴n= 時，△CDF1面積的最大值
【解析】（Ⅰ）由F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），可得） a（Ⅱ）曲線C2的漸近線為± ，如圖，設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x0 ， y0），設直線l：y= ，與橢圓方程聯(lián)立化為2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根與系數(shù)的關系、中點坐標公式，只要證明y0=﹣ 即可．（Ⅲ）設直線l1的方程為x=ny+6（n＞0）．與橢圓方程聯(lián)立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根與系數(shù)的關系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質即可得出．