Question

7．已知E，F(xiàn)分別是正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱AA₁，CC₁上的點，且A₁E=2EA，CF=2FC₁，求證：四邊形BED₁F是平行四邊形．

Answer 1

分析 可在該正方體的棱BB₁上取點G，使得BG=2GB₁，這樣容易說明四邊形A₁EBG為平行四邊形，從而有BE∥A₁G，且BE=A₁G，同理可說明四邊形GFCB為平行四邊形．從而可得到GF∥BC，且GF=BC，這樣便可得到四邊形GFD₁A₁為平行四邊形，從而得出A₁G∥D₁F，且A₁G=D₁F，這樣便可得出四邊形BED₁F為平行四邊形．

解答 證明：如圖，在棱BB₁上取點G，使BG=2GB₁，連接A₁G，F(xiàn)G；

A₁E=2EA；
∴A₁E∥BG，且A₁E=BG；
∴四邊形A₁EBG為平行四邊形；
∴BE∥A₁G，且BE=A₁G；
同理，GF∥BC，GF=BC；
又BC∥A₁D₁，且BC=A₁D₁；
∴GF∥A₁D₁，且GF=A₁D₁；
∴四邊形GFD₁A₁為平行四邊形；
∴A₁G∥D₁F，且A₁G=D₁F；
∴BE∥D₁F，且BE=D₁F；
∴四邊形BED₁F為平行四邊形．

點評 考查平行四邊形的定義，根據(jù)一組對邊平行且相等來判定一個四邊形為平行四邊形的方法．