Question

12．已知直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=4交于A、B兩點．
（1）求|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的范圍；
（2）若過A，B作圓M，且與y=-4相切，求圓M面積最小時圓M的方程．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點D，連接OD，由中點的向量表示形式和直線和圓相交的條件，即可得到所求范圍；
（2）設圓M的方程為λ（x²+y²-4）+kx-y+1=0，即為x²+y²+$\frac{k}{λ}$x-$\frac{1}{λ}$y+$\frac{1}{λ}$-4=0，求出圓心和半徑，由直線和圓相切的條件，可得d=r，化簡可得k²=48λ²+20λ≥0，可得λ的范圍，進而得到r的最小值，即可得到圓的方程．

解答 解：（1）取AB的中點D，連接OD，
則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=2|$\overrightarrow{OD}$|，
即為O到直線AB的距離的2倍，
由0≤|$\overrightarrow{OD}$|≤1，可得
|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的范圍為[0，2]；
（2）設圓M的方程為λ（x²+y²-4）+kx-y+1=0，
即為x²+y²+$\frac{k}{λ}$x-$\frac{1}{λ}$y+$\frac{1}{λ}$-4=0，
圓心為（-$\frac{k}{2λ}$，$\frac{1}{2λ}$），半徑r=$\sqrt{4-\frac{1}{λ}+\frac{{k}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{1}{4{λ}^{2}}}$，
由圓與y=-4相切，可得|4+$\frac{1}{2λ}$|=r，
化簡可得k²=48λ²+20λ，
由k²≥0，解得λ＞0或λ≤-$\frac{5}{12}$，
即有λ=-$\frac{5}{12}$，r取得最小值，且為4-$\frac{6}{5}$=$\frac{14}{5}$，
此時k=0，
即有圓M的方程為x²+y²+$\frac{12}{5}$y-$\frac{32}{5}$=0．

點評 本題考查直線和圓的位置關系，考查中點的向量表示，直線和圓相切的條件以及圓的方程的求法，屬于中檔題．